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若x∈函数ay=gx+最小值为1求a的值

归档日期:08-06       文本归类:度量空间      文章编辑:爱尚语录

  爱因斯坦的广义相对论告诉我们,引力并不是真正的力,而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说,他身处在这个空间里,是无法直接体会到空间扭曲的。 但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲,测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。

  黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形,换句话说,这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场, 亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。给了度量以后, 我们就可以向数学分析里做的那样,建立起微积分的理论。

  欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。 曲线和曲面的微分几何 里,我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形,所以自然赋予了度量结构。

  黎曼度量给定后,我们可以有唯一的确定出一个对称(即无挠)联络,并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。

  有了联络,我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数,从而建立起流形上的微分学。 在欧氏空间上,联络是0,所以这就是通常意义上的向量函数的微分。

  黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念,它反映了流形的弯曲程度,是内蕴性质,也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。 曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。

  大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率, 发现这种曲率是内蕴的,尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。

  代数曲面是代数几何中考虑的另一类重要的几何对象。它是紧的4维定向实流形,也就是紧复2维流形。 它是比代数曲线更为复杂的研究对象。

  代数曲面自带了一些重要的数值不变量。 这些量主要包括:典范体积,上同调的欧拉示性数,拓扑的欧拉示性数。 不变量是反映曲面自身特征的数值量。

  这三个不变量满足一个简单的线性关系式,即著名的诺特公式(X.Noether)。

  是否存在这样的代数曲面,使得它的不变量恰好有指定的值呢?这就是代数曲面理论所要研究的课题--称为曲面地理学。

  其次我们要将所有的曲面按照各类不变量进行分类,就好比按照生物的不同性状分成各个种类。 因此人们把这一工作称为曲面的生物学分类。

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