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泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间doc

归档日期:07-23       文本归类:度量空间      文章编辑:爱尚语录

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  泛函分析第章度量空间与赋范线性空间第二章度量空间与赋范线性空间第章度量空间与赋范线性空间n度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上它是维欧几里得空间Rn的推广它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。度量空间的基本概念距离(度量)空间的概念在微积分中我们研究了定义在实数空间上的函数在研究函数的分析性R质如连续性可微性及可积性中我们利用了d上现有的距离函数即对Rx,y,R,d(x,y),x,y。度量是上述距离的一般化:用抽象集合代替实数集X并在上引入距离函数满足距离函数所具备的几条基本性质。X【定义】设是一个非空集合:是一个定义在直,(,,,)XXX,,,,积上的二元函数如果满足如下性质:XX()非负性x,y,X,,(x,y),,,(x,y,,x,y()对称性x,y,X,,(x,y),,(y,x)()三角不等式x,y,z,X,,(x,y),,(x,z),(z,y)则称,(x,y)是中两个元素与的距离(或度量)。此时称按,(,,,)成为XxXy(X,,)一个度量空间(或距离空间)记为。,(,,,)注:X中的非空子集按照X中的距离显然也构成一个度量空间A(X,,)称为XX的子空间。当不致引起混淆时可简记为,并且常称中的元素X为点。例离散的距离空间xyX,,,XX设是任意非空集合对中任意两点令xy,,,(,)xy,,xy,,,(,,,)(,)X,显然这样定义的满足距离的全部条件我们称是离散的距离X空间。这种距离是最粗的。它只能区分中任意两个元素是否相同不能区分应用泛函分析(第二版)元素间的远近程度。此例说明在任何非空集合上总可以定义距离使它成为度量空间。nxxxx,,,,?例维欧几里得空间表示维向量的全体组成的集Rnnnxxx,,,?合也表示个实数组成的数组的全体形成的集合。对xxx,,,?nnnnxxxx,,,,?yyyyR,,,,,?定义nnn(),(,)()xyxy,,,ii,,,i下面来证满足度量定义中的条件()~()。,(,,,)由式()不难验证满足条件()()。为证满足条件()需利,(,,,)用时的离散型Minkowski不等式(见节)。p,nzzzzR,,,,,?取则有nnn,,,,,(,)()()()xyxyx(,,)}i,,,,Baa,,,{{}:,,或与区间可以通过二进制小数建立如下Biiaaa,,,,对应:该对应是一一映射因此是不可数集。以中的所有点BAi,为中心为半径的开球满足。因此。BaaA(,)(),Bal,BBa,(,)(,)::aAaA,,,,,由于可数不可数所以至少存在中两个不同点落入某个开球ABB,,,(,),,,,,,,,,,,。直接计算显然但Ba(,)(,)(,)(,)aa,l矛盾故不可数。第二章度量空间与赋范线性空间度量空间中的完备性我们在学习数列收敛时已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy列因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中这一结果未必成立。为此我们引入一个重要的概念度量空间的完备性。【定义】度量空间中的点列称为Cauchy列是指对任意,,{}xXn存在自然数当时有度量空间称为完备的是指NnmN,,,,(,)xx,Xnm中任何Cauchy列都是收敛的。X由定义易知中的收敛点列是Cauchy列。中的Cauchy列若有子列收敛XX则Cauchy列也收敛。n例欧氏空间是完备的。Rn()k证明:设是中任一Cauchy列则对存在自然数当,,,NR{}x()()kk时有于是对每个坐标所形成的数列kkN,,,,(,)xx,()()()()()kkkkk,{}((,,,))()xxxxxin,,,,,,in()()()()kkkk(,)xxxx,,,,,ii()k()k这说明是Cauchy列因此存在实数满足记xxk,,,(){}xxiiiin()kxR,作则。这样有。xxxx,,,,(,,,)xxk,,,()nCab,例空间是完备的。,,,NCab,证明:设{}f是中任一Cauchy列则对存在自然数当nnmN,,tab,,()()ftft,,,m,,时有即对任意必有令,,(,)ff,nmnm()()ftft,,,fab,,有{}fffab,,则一致收敛于。而所以且nnn()n,,Cab,故空间是完备的。,(,)ff,n,l例空间是完备的。,()()()mmmlx,,,,,,,{,,,,},,,{}x证明:设是中的Cauchy列其中则对mmn,,,NnmN,,存在自然数当时下式成立应用泛函分析(第二版)()()nm,,,,(,)xx,,,supnmjj,jN()()nm,,,,,对每个也有成立这样对每个存在有,,RjN,jjjj()m,,,,,,()mxl,。令则且。x,,,,,,,{,,,,},,,xxk,,,()jjnk()()nm()m,,,,,,,,,,事实上在中令得到对一切成mN,n,,jjjj立。()m,,,k又因为因而存在实数使得对所有成立。这样就xl,kjjmmm()()mm()m,,,,,,,,,k,,,,,xl,有。这就证明了由可知对jjjjjjmmN,一切下式成立()m,,,,(,)xx,,,supmjj,jN,l所以因而是完备的。xxm,,,()m注:不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的再如按Cab,p空间的距离构成的度量空间是不完备的。()p,Lab,abp事实上是的子空间。在中取一点如取令Cab,(,)abc,cLab,xtatcntctabn()tan(()),,,,,,,,,,,,n则,,,,,,atc,,xtxttc()(),,,,,n,,,,ctb,,,,p且由勒贝格控制收敛定理可以证明{}x收敛于中()(,)xttab,,,Lab,nnCab,xCab,,的函数x{}x{}x因而是Cauchy列而所以是中的CauchynnnCab,x{}x列但不可能对等于一个连续函数故不收敛于中某个元所以npCab,作为的子空间是不完备的。Lab,从以上例子可以看出同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。【定理】度量空间的完备子空间是闭集一个完备度量空间的闭子空第二章度量空间与赋范线性空间间是完备的。,证明:设是距离空间的完备子空间设则存在SxS,X因为是收敛的所以它是中一Cauchy列S()n,,{},xSxxX,,,{}xnnn又因为是完备的所以即是闭的。SxS,S设是完备的距离空间是的闭子空间设是中的Cauchy列SS{}xXXnxS,则必是中的Cauchy列因完备故所以而是SxxXn,,,,()XXn闭的故xS,这就证明了S是完备的。类似于空间上的闭区间套定理我们在距离空间中可得到闭球套定理。R【定理】设是度量空间是中一列以BBxrn,,(,)(,,)?xXXnnnnn为中心以为半径的闭球则是完备的充要条件是若且rBBn,,(,,)?Xnnn,则必有惟一点。,,)rn,(xB,:nnn,证明:对由知,,nmN,,xB,mnn,,(,)xxr,nmnn由于从而因此是中的基rn,,,(),(,)()xxn,,,{}xXnnmnn本列由于是完备的所以必有使。xX,xxn,,,()Xn再在式()中令由距离函数的连续性得到m,,,(,)(,,)xxrn,,?nn,,因此xBn,,(,,)?从而。如果又有中点从而XxB,:yB,:nnnn,n,,(,),,,yxrn,,?,,(,)lim(,)yxyx,,xy,令n,,即得。所以nnn,即中只有一点。:Bnn,,{}x设是中的基本列由基本列定义知对,,,k?存在X(,,)nkknN,nmn,,当时有kk,xx,(,)nmkBxk,?yBx,在X中作一列闭球。当时由于(,),,,(,)nnkkkk应用泛函分析(第二版),,,xyxxxy,,,(,)(,)(,)nnnnkkkkkkk得知yBx,(,)nkk所以BxBxk,,?(,)(,),,,nnkkkk另一方面的半径则有惟一点Bx,,,k(,)()nkkk,xBx,:(,)nkkk,从而所以。即是完备的。,(,)()xxk,,,,(,)()xxn,,,Xnnk一般的度量空间如果不是完备的应用起来往往很困难。例如方程解的存在问题在不完备的度量空间中解方程即使近似解的序列时基本列也不能保证这个序列有极限从而也就不能保证方程在该解空间内有解因此研究能否在任意度量空间中通过“添加”一些“点”使之成为完备化的距离空间是很有意义的。康托将有理数域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。TX:,【定义】设是两个度量空间如果存在满影射(,)X,(,)X,使得对一切都有则称是到的等距映xyX,,,,(,)(,)TxTyxy,XXTX射称与是等距的。XX注:等距影射一定是同胚映射。显然凡是等距的度量空间由度量导出的性质全是一样的因此当只限于讨论与度量空间有关的性质时对彼此等距的度量空间可以不加区分。【定理】(度量空间的完备化定理)对于每个度量空间必存在一X,个完备的度量空间使得等距一个在中稠密的子空间如除去等距XXXX不计X是惟一的。由于这个定理证明冗长且一般泛函分析教材均有证明过程这里从略。Q,(,)rrrr,,例有理数全体按距离所成度量空间是不完备的Pab,,(,)rrxy,,它的完备化空间就是全体实数按距离所成的距离空间是,(,)max()()rrxtyt,,,ab上全体多项式函数按度量所成度量空间是不完atb,,pCab,Cab,备的它的完备化空间是按空间的度量构成的度量Labp,(),p空间是不完备的它的完备化空间是。Lab,第二章度量空间与赋范线性空间度量空间中的列紧性在实数集中有界数列一定存在收敛子列但这个结论不能推广到一般的度量空间中。例如在上的三角函数系,,,,??{,cos,sin,,cos,sin,}ttntt,,,,,是空间中的一个有界集但其中任意两个不同元素距离等于不可L,,,,能存在收敛子列。因此有必要引入下面的概念。【定义】设是度量空间如果中的每一点列都存在一个AX,AX子列收敛于中某一点则称为列紧集如果中的每一点列都存在一个子AAX列收敛于中某一点则称是紧集。AA由此可见一个集合是紧集则必是列紧集但反之不然。,A例但。因此是列A,(,,XR,A{},Alimn,,nn紧集但不是紧集。由定义我们可以得出结论:列紧集的子集也是列紧集有限个列紧集的并一定是列紧集列紧的闭集一定是紧集。nn例XR,AR,是有界集则是列紧集。A()()()()kkkk()kM,证明:记由有界知存在使xxxx,{,,}?A{}xA,n()k()k()k()kMin(),,。对个数列是有界的对有子列收敛{}x,{}x{}x{}xii()k()k仍是有界的故又存在收敛子序列{}x是的子集。依次类推{}x{}k{}k()()()kkkn()knnnnR得到自然数集的子列使{,,}xxx?都收敛因此在中收{}k{}xnn敛即为列紧集。A根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难为了便于刻画和判断一个集合的列紧性我们引入全有界集概念。,,,【定义】设是度量空间是全有界的如果对存在XAX,nxxx,,,?中有限个点满足。AABx,:(,),ni,i【定理】全有界集是有界的且是可分的。,,{,,,}xxxA?,证明:设是度量空间是全有界的则对存在XAX,nnxA,xkn(),,,(,)xx,使因此对一切有使所以ABx,:(,)kki,i,,,,(,)(,)(,)max(,)xxxxxxxxM,,,(M是有限数)nkknkn,,kn应用泛函分析(第二版)故有界。A另一方面若全有界对存在有限集,,Ann()()()nnnBxxxn,,{,,,}(,,)??nmnm,n()n使令则是可列集。任取存在某个xA,ABx,:(,),,kmBBB,:inn,inn,()n()n使且说明在中稠密故可分。xBB,,,xx,BAA(,)knkn注:定理逆命题不真。【定理】如果是度量空间中的列紧集则是全有界集。AAX证明:若不是全有界集那么存在使得中任意有限个点为中心,,AA半径为的球并不能盖住。取球不能盖住于是存在xA,Bx(,),xA,,AA且即有同样也不能盖住存在xBx,(,),,,(,)xx,BxBx(,)(,),,:A且既有如此继续下xA,xBxBx,(,)(,),,:,,(,)xx,,,(,)xx,去得到中点列满足。可见点列的任何子列均不能,,(,)()xxmn,,{}xxAnnmn收敛这与是列紧集矛盾。A【定理】如果是完备的度量空间则是列紧集的充要条件是为XAA全有界的。证明:必要性由定理即得。现证充分性:设是全有界集取对存{}xA,,,,,,k?A(,,)nkk在以中有限个点为中心为半径的球的并盖住所以必有某个球Ba(,)中AA()含有{}x的某子列该子列记为{}x取同样存在以中有限个点为,,Ann()中心为半径的球盖住所以必有某个球含有子列{}x的子列ABa(,)n()()(){}x{},{},xx?记为如此进行下去可得子列串为其中后一个是前一nnn()n()k{}x个的子列且xBa,。从这一个子列串中重新选择一个子列即{}(,)nnkk将子列串排成下面的表选取对角线元素而得()()()()?xxxx()()()()?xxxx?????第二章度量空间与赋范线性空间()n()n()n()n„xxxx?????()n我们来证明是Cauchy列事实上,对任意,取自然数使,,N{}xn则对任何有nmN,,,,N()n()m{}xxBa,{}(,)nmNN所以()()()()nmnm,,,,xxxaxa,,,(,)(,)(,)nmnNmNN()n()n即是Cauchy列。由完备可知是收敛列证得为列紧集。{}x{}xAXnn注:在完备的度量空间中集的列紧性和全有界性是一致的在一般的度n量空间中列紧性强于全有界性全有界性强于有界性在空间中三者是一R致的。现在我们将古典分析中闭区间上连续函数的某些性质推广到度量空间的紧集上。【定理】设是度量空间中的一个紧集是定义在上的一个fAXA连续函数那么是有界的且上下确界可达。flim()fx,,证明:先证f有界。若不然则存在使由于是紧xA,Ann,,n{}xxx,的有子列在中收敛即有使。由于f在点连续xA,{}xxAnnnkkfxfx()lim(),f有从而fx(),,这是不可能的。所以在上是有界的。Ank,,k{}x记,sup()fx,由上确界定义同样可以找到中点列满足fx,,,A()nnkxA,n{}xxxk,,,()fxA,由紧性存在子列及使由在点x连续得Annkkfxfx()lim(),,,fx(),,fx(),,显然于是。同理可证下确界可达。nk,,kCab,关于判断重要空间中子集的列紧性有下述著名的ArzelaAsccoli定理。ACab,,【定理】集合是列紧的充要条件是下面两个条件成立:max()ftM,M,fA,()A是一致有界的即存在常数使得每个:atb,,,,,,,ttab,,,()A是等度连续的即对存在使对任意当应用泛函分析(第二版)及时成立。fA,tt,,,()()ftft,,,该定理证明较为繁杂这里从略。习题设对问:Xn,,,,,:?xyX,,,(,)xyxy,,()是否完备()是否可分XX()是否全有界()是否列紧。XXCC证明稠密性具有传递性即若在中稠密在中稠密则在中也ABBA稠密。证明列紧集中的Cauchy列必是收敛列。举例说明完备度量空间的连续像未必是完备的。C设是度量空间证明在中稠密的充要条件是无内点。AAX,AXX,l记在上定义度量为laa,,,,{{}:},,iii,,,,{}a,,,{}bl,,,(,),,ab,iiiii,l证明:是可分的且是完备的。设是列紧集且是闭集证明是紧集。AA,设是一列非空紧集若满足FFF,,,?则。{}F:F,,nni,xX,设是度量空间是中紧集记XAX,,(x,)inf{(x,y):yA}A,,,(x,)A,证明:当那么如果将换为列紧集结论是否成立,x,AA证明紧集的连续像是紧集。设是度量空间是紧集是闭集记XAX,BX,,,(,)inf{(,):A,b}ABabaB,,,AB:,,,(,)AB,若证明。,l试证空间不是列紧的。,证明空间是不可分的。Lab,第二章度量空间与赋范线性空间Banach压缩映像原理作为完备度量空间概念的应用我们介绍压缩映像原理。压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据是数学和工程计算中最常用的方法之一。压缩映像原理在众多情况下求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点现在以大家熟悉的一阶常微分方程dy(),fxy(,)dx为例来说明这一点。求微分方程()满足初始条件的解与求积分方yxy(),程x()yxyfxytdt()(,()),,x等价。我们做映射xTyxyfxytdt()(,()),,x则方程()的解就转化为求使之满足Tyy,。也就是求这样的它经yy映射作用后仍变为。因此求解方程()就变为求映射的不动点。这种Ty求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢,在中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。Rxxa,,sin,,,例求Kepler方程的解其中,为已知常数。,aTRR:,Txxa,,sin解:做映射使求方程的解就转化为求映射的不TT,,,,动点即求一点使。任取一实数x做如下迭代序列n??xTx,xTxTx,,xTx,xnxxa,,sin得xxa,,sin????xxa,,sinnn????应用泛函分析(第二版)由于sinsinxxTxTxxx,,,,,,,nnnnnn,,,,,,,,sinsinxxxxnnnn,n所以xxTxTxxx,,,,,,,nnnn因而对任何自然数、有mnnm,xxxxxxxx,,,,,?nmnnnnmm,,,nnm,,,,(),,,?xxm,,,xx,,,,,因故当时上式后部分极限为因此是中的Cauchy列m,,{}xRn所以使limx,,。又是连续映射对令有,,R,,,TxTx,n,,Tnnn,,n故为映射的不动点即为所求Kepler方程的根。,,T这个根是惟一的与选取无关。事实上如果方程还有另一根x,则有,,,,sinasinsinsinsin,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,sincossin,,,,,,,,,,,,,,,,这是不可能的故。这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中看到实数完备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一个一般原理即压缩映象原理压缩映象原理就是某一类影射不动点存在和惟一性问题不动点可以通过迭代序列求出。T:X,X【定义】设是一个度量空间是一个映射称是的XTx,不动点是指。Tx,x,,T:X,X【定义】设是一个度量空间称为压缩映像是指存在Xa,,,(TX,TY),a,(x,y),(x,y,X)常数满足。第二章度量空间与赋范线性空间从定义可见压缩映像一定是连续映射。因为若由x,xn得。,(Tx,Tx),a,(x,x)Tx,Txnnn【定理】(Banach压缩映像定理)设是完备度量空间是T:X,XX压缩映像那么存在惟一的不动点。T证明:任取作迭代序列。为证是收敛仅需证明x,Xx,Tx(n,),,xnn,n它是Cauchy点列因为是完备的。由于X,(x,x),,(Tx,Tx),a,(x,x)(,)(,)(,)(,),xx,,TxTx,a,TxTx,a,xx????n,,(x,x),,(Tx,Tx),a,(x,x),?,a,(x,x)nn,n,n,n,n,于是对任何自然数及有n,,(x,x),,(x,x),(x,x)?,(x,x)npnnpnp,np,np,nnnp,np,n,(aa?a),(x,x)np,a(a),,(x,x),ana,,(x,x),a,(x,x),(n,,)可见因此,,是Cauchy点列。从而存在中xXxnpnn,使x,x。我们来证便是的不动点事实上由Txn,,,(Tx,x),,(Tx,Tx),(Tx,x),,,nn,,a,(x,x),(x,x),nn,,(n,,)得即故。,(Tx,x),,(Tx,x),Tx,x,,,,,,最后来证惟一性。设另有一不动点即有因Ty,yy,,,,(x,y),,(Tx,Ty),a,(x,y),,a,,,,,,,应用泛函分析(第二版)所以即。证毕。,(x,y),x,y,,,,注:()从定理的证明过程中发现迭代序列的初始值可任意选取最终都能收敛到惟一不动点。()该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式即na,,(x,x),(Tx,x),n,a因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的所以定理中的压缩映像不需要在整个空间上有定义只要在某个闭集上有定义且像也在该X闭集内定理的结论依然成立。n在实际应用过程中有时本身未必是压缩映像但的若干次复合是TTT压缩映像这时仍然有惟一不动点这就是如下所述的对压缩映像原理的改进T定理。T:X,X【定理】设是完备度量空间是一个映射。如果存在某Xnn个自然数使是压缩映射那么存在惟一的不动点(这里是的次TTnnTTnn,复合即)Tx,T(Tx),?,Tx,T(Tx)nn证明:T是压缩映像所以存在惟一的不动点即由于Tx,xx,,,nnnT(Tx),Tx,T(Tx),Tx,,,,nn这说明TT仍是的不动点而的不动点惟一所以即是TTxTx,xx,,,,的不动点。若另有不动点即则TTy,yy,,,,,nnnnT那么也是的不动点根据不动点的Ty,T(Ty),Ty,?,yy,,,,,惟一性有证毕。x,y,,压缩映像原理的应用本小节通过代数方程、微分方程、积分方程来说明定理与定理的具体应用。Ax,b例线性代数方程均可写成如下形式x,CxD()TCC,(c)D,(d,d,?,d)其中,。如果矩阵满足条件ijnnnnc,(i,,,?,n),ijj,第二章度量空间与赋范线性空间则式()存在惟一解且此解可由迭代求得。n证明:取定义度量为X,R,(,,,),maxa,bii,,inTT,,(a,a,?,a),,,(b,b,?,b)nn构造映射为那么方程()的解等价于映射的不动T:X,XTx,CxDT点。TT对于由于x,(x,x,?,x),y,(y,y,?,y)nnnn,(Tx,Ty),max(cxd),(cyd),,ijjjijjj,,in,,jjnn,maxc(x,y),maxc,(x,y),,ijjjij,,,,inin,,jjna,maxca,记由条件因此是压缩映像于是有惟一不动点所TT,ij,i,nj,以方程()有惟一解且此解可由如下迭代序列(k)(k,)x,CxD近似计算求得。例考察如下常微分方程的初值问题dy,,f(x,y),dx,,y(x)y,,()f(x,y)RLipschitz如果在上连续且关于第二元满足条件即yf(x,y),f(x,y),Ly,yL,x,,,x,这里是常数则方程()在上有惟一解(,,)。L证明:方程()的解等价于如下方程xy(x),yf(t,y(t))dt,x()Cx,,,x,的解。取连续函数空间定义其上的映射T:Cx,,,x,,Cx,,,x,应用泛函分析(第二版)为x(Ty)(x),yf(t,y(t))dt,x则积分方程()的解等价于的不动点。对任意两个连续函数Ty(x)由于y(x),Cx,,,x,x,(Ty,Ty),maxf(t,y(t)),f(t,y(t))dt,xx,x,,x,,x,maxf(t,y(t)),f(t,y(t))dt,xx,x,,x,,x,maxLy(t),y(t)dt,,L,(y,y),xx,x,,x,,令a,L,a,则故是压缩映射从而有惟一不动点即积分方程TT()有唯一解从而微分方程()在上有惟一解。x,,,x,例设是定义在上的二元连续函数则对于任何常K(s,t)a,ba,b,Volterra数及任何给定的连续函数如下型积分方程f(t),Ca,btx(t),,K(s,t)x(s)dsf(t),a()存在唯一解。证明:取连续函数空间Ca,b其上定义映射:Ca,b,Ca,b为Tt(Tx)(t),,K(s,t)x(s)dsf(t),aK(s,t)a,ba,b则方程()的解等价于的不动点。由于在上连续于是TK(s,t)a,ba,b在有最大值记为即M,,M,maxK(s,t):(s,t),a,ba,b对任何两个连续函数由于x(t),x(t)t(Tx)(t),(Tx)(t),,K(s,t)x(s),x(s)ds,a,,M(t,a)maxx(s),x(s)a,s,b,,M(t,a),(x,x)t(Tx)(t),(Tx)(t),,K(s,t)(Tx)(s),(Tx)(s)ds,a第二章度量空间与赋范线性空间t,,M,(x,x)(s,a)ds,a,M(ta),,(x,x),一般地对自然数归纳可得nnnn,M(ta),nn(Tx)(t)(Tx)(t),(x,x),,n!因此nnnn,(Tx,Tx),max(Tx)(t),(Tx)(t),,atbnnn,M(ba),,(x,x),n!nnnMba(,),注意到因此存在自然数满足nlim,,,nn!nnnM(b,a),,a,n!nVolterra这说明T是压缩映射由定理有惟一不动点亦即型积分方程()有惟一解。a,x,b例(隐函数存在定理)设函数f(x,y)在带状域,,,,y,,f(x,y)中处处连续且处处有关于的偏导数。如果存在常数和满足mMyy,m,f(x,y),Mm,M,yf(x,y),a,by,,(x)则方程在区间上必有惟一的连续函数作为解即f(x,,(x)),,x,a,bCa,b,,Ca,b证明:在完备空间中作映射使对于任意的函数有T(T,)(x),,(x),f(x,,(x))Mf(x,y)(T,)(x)T,,Ca,b按定理条件是连续的所以也是连续的即故TCa,bCa,b是到的映射。现证是压缩映射由微分中值定理T,,,,,Ca,b,,,存在使应用泛函分析(第二版)(T,)(x),(T,)(x),,(x),f(x,,(x)),,(x)f(x,,(x))MM,,(x),,(x),fx,,(x),,((x),,(x)),(,(x),,(x))yMm,x,x,,(),()()Mmm又,m,M所以令则,,,,且,,,,,MM(T,)(x),(T,)(x),,,(x),,(x),(T,,T,),,,(x),,(x)按中距离的定义有所以是压缩映Ca,bT像存在使即即,,Ca,bT,,,,(x),,(x),f(x,,(x))f(x,,(x)),MM所以f(x,,(x)),(a,x,b)习题x,asinxx,(用压缩映像原理证明方程只有惟一解其中。a,(,),,(证明下述线性方程组,,,,,,,,,x,,,,,,,,x,,,,,,,,,,,x,,,,,,有惟一解并写出求方程近似解的迭代序列。(用压缩映像原理构造迭代序列来求下述微分方程dy,,,x,dx,x(),,的解。K(s,t)a,ba,bf(x),Ca,b(设是上的连续函数记,,M,maxK(s,t):(s,t),a,ba,b第二章度量空间与赋范线性空间证明下述积分方程Fredholmbx(t),,K(s,t)x(s)dsf(t),a当时有惟一解。,,M(b,a)nn,(Tx,Ty)(设是完备度量空间如果证T:X,X,infsup,aXn(,),xyxy,明存在惟一不动点。T线性空间在许多数学问题和实际问题中我们遇到的空间不仅需极限运算而且要有所谓的加法和数乘的代数运算如本章所考察的函数空间和序列空间实际上也是一个代数系统。当着眼于空间中的代数结构时就必须引入线性空间(或向量空间)的概念。线性空间的定义【定义】设是非空集合是实数域或复数域称为上的线XFXF性空间如果满足以下条件:对任意两个元素x,y,X存在中惟一个元素与之对应称为与的uuxXy和记为u,xy且满足:xy,yx(x,y,X)()交换律x(yz),(xy)z(x,y,z,X)()结合律,x,,x(x,X)()在中存在一个元素称为零元使Xx,X,x,Xx(,x),,,x()对每个x存在使称为的负元。,,Fx,Xv,,xv对任意数及存在中惟一元素与之对应记为称X,x为与的数乘且满足:,(,x),(,,)x(,,,),F,x,X()结合律:x,x()(,,)x,,x,x()数乘对加法分配律应用泛函分析(第二版)()加法对数乘分配律。,(xy),,x,y如果称为实线性空间如果(复数域)称为复线性空F,CF,RXX间。n例欧式空间是一线性空间。,,Rx,(a,a,?,a)y,(b,b,?,b)nn令与加法为数乘为xy,(ab,ab,?ab),x,(,a,,a,?,,a)xynnnn零元素负元素为易验证是线形空间。,,(,,?,)R,x,(,a,,a,?,,a)n例按函数的加法与数乘运算组成一线性空间。Ca,bp例空间是线形空间。l(p,),p设是实数列如果则称数列x,(x,x,?,x,?)(x,x,?,x,?)x,,,nini,ppplll是次收敛数列次收敛数列全体记为称空间。对中任何两个元素pp和任何实数(或复数)定义x,(x,x,?,x,?)y,(y,y,?,y,?)annxy,(xy,xy,?,xx,?)nmax,(ax,ax,?ax,?)npl现在证明这样定义的和仍是中的元素。xyax因为pppxy,(xy),(max(x,y))iiiiiippppp,(max(x,y)),(xy)iiiii所以,,,ppppxy,(xy),,,,,iiiiiii,,,pppax,l则。容易证明所以按上述加法与数乘运算成为l(p,)xy,l线性空间。对于线性空间以下几个概念是经常用的。线性相关与线性无关x,x,?,xX中的元素称为是线性相关如果存在不全为零的数组n,,,,?,,,F,x,x?,x,,使得反之若由nnn第二章度量空间与赋范线性空间必然导出则称线,x,x?,x,,,,,,?,,,x,x,?,xnnnn性无关。例线性空间那么是线性无关的X,Ca,bsint,sint,sint,sint而是线性相关的。sint,sint,sint,sint线性组合设x,X如果存在使得,,,,?,,,Fnx,,x,x?,x(x,X,i,,,?,n)nni则称是的线性组合或称可用线性表示。x,x,?,xx,x,?,xxxnn子空间设如果对中线性运算是封闭的即对有x,y,Exy,EE,XEX,,,F,x,E对有则称是的一个线性子空间简称子空间。易验证子EX空间本身也是线性空间。及都是的线性子空间称它们为平凡的子空间而称其他的子空间XX,,,为真子空间。设为的一个非空子集中任意有限向量的线性组合全体记为MXMspanM称为由张成的线性包容易证明spanM是的线性子空间并且是MX中包含的最小线性子空间即若是中包含的线性子空间那么必有XHXMH,spanM。线性子空间的维数与基n如果线性空间中可找到n个线性无关的向量且任意个向量均线性相XdimX,n关则称的维数为n记为若对任何自然数m中都有m个线XXdimX,,性无关的向量则nn称是无限维的记为。维线性空间中个线性X无关的向量称为空间的一组基。nRn例空间是维线性空间。向量组e,(,,,?,)e,(,,,?,)????e,(,,,?,)nnRR构成的一组基称它为的标准基。应用泛函分析(第二版)spanx,x例设是线性空间且线性无关则是的XXx,x,X二维子空间。例是无穷维线性空间因中存在无穷多个线性无关的Ca,bCa,bn向量。,t,t,?,t,?直和设是线性空间是的子空间如对,x,X可惟一表示L,L,?,LxXXn成其中则称是的直接和x,xx?xx,L(k,,,?,n)L,L,?,LXnkknn简称为直和记为或。X,L,L,?,LX,L,nk,k容易证明如果是的直和在中任取非零元素L,L,?,LLx(,k,n)Xnkk则是线性无关的。x,x,?,xn函数空间S(E)S设是一集合是上某些实(或复)值函数所组成的函数簇在中S(E)EE按通常方法规定函数的加法及中的数与函数的乘法如下F(fg)(x),f(x)g(x)(x,E,,f,g,S(E))(,f)(x),,f(x)(,,F,f,S(E)),,Ff,g,S(E)fg,S(E)S(E)如果当恒有则称为上的一个线性空F间此线性空间称之为函数空间。今后如不特殊说明对函数空间总是采取上述的加法及数乘运算。pS(a,b)例是线性子空间是线性空间。Ca,b,La,b(p,)S数列空间SS设是数列的全体在中定义“加法”与“数乘”运算即对x,(x,x,?),y,(y,y,?),S,,,F定义xy,(xy,xy,?),,x,(,x,,x,?)S则是F上的一个线性空间此线性空间称为数列空间。如不另外说明对第二章度量空间与赋范线性空间空间及其子空间都采取这种加法和数乘运算。S,p例l空间是的子空间是线性空间。Sl(p,)凸集在线性空间中还有一类常用集合凸集。一个集合称为凸集如果A,X对中任意两个元素及有。特别当是的子空,,,,x(,,)y,AAAx,yX间时一定是凸集相反凸集未必是子空间。A线性算子与线性泛函【定义T:X,Y】设与是两个线性空间映射称为线性算子YX,,F如果对及有。特别当时,x,y,XT(xy),TxTy,T(,x),,T(x)Y,F线性算子称为线性泛函是实数域时称为实线性泛函是复数域时称FF为复线性泛函。T:X,Y是线性算子记ker(T),{x,X:Tx,,},R(T),{y,Y:y,Tx,x,X}分别称为线性算子的零空间和值域空间。容易证明是的子空间ker(T)TX而R(T)是的子空间。YT:X,X例设是线性空间且Tx,,x,(x,X,,,F)则是XTX,,,,,到上的线性算子当时称为相似算子当时称为零算子当X,,时称为单位算子。Ca,ba,b例连续函数空间其子空间即上全体连续可Ca,bd微函数组成的线性空间定义算子则是线性算子。T,:Ca,b,Ca,bTdtbf:Ca,b,R,f(x),x(t)dtCa,b例连续函数空间定义泛函,af则是线性泛函。nm例设与分别是维与维线性空间取一组基XYX{e,e,?,e}{,,,,?,,},Y中取一组基。证明:此时对任何一个线性算子nm应用泛函分析(第二版)mn存在相应一个矩阵使得若则Tx,,,T:X,YA,(a)x,,e,jjijnm,iij,,in其中。,,a,(j,,,?,m),jiji,i证明:对每个是中的元素存在个数使得a,a,?,ae,TemYiiiiimmTe,a,,iijjj,于是有nnnmTx,T(,e),,Te,,(a,),,,,iiiiiijji,i,,,ijmnm,(a,),,(,,),,,ijijjjj,,i,j例表明在两个有限维线性空间之间的线性算子均可在合适的基下通过矩阵表达。因此线性代数所研究的矩阵本质上是有限维空间之间的线性算子。本书的主要目的是研究无限维空间上的线性算子。【定义】两个线性空间与称为是同构的是指存在一个线性算XYT:X,Y子是一一映射。两个同构的线性空间维数相同且代数结构一致。事实上任何维线性空nn间一定与R空间同构。(证明留作习题)。习题spanA(设是线性空间是非空子集证明是线性空间且满足对XA,XM,spanA任一子空间若则。MM,AM,NMN,{xy:x,M,y,M}(设是线性空间的两个子空间证明XM:NM:N及均是子空间。是否是子空间,T:X,Yker(T)R(T)(设,是两个线性空间是线性算子证明和分XY别是与的子空间。XYnnR(证明:对欧式空间任意线性泛函都惟一存在f:R,Rna,{a,a,?,a}x,{x,x,?,x},Rn这个确定的实数使对每个都有nn第二章度量空间与赋范线性空间n。f(x),ax,iii,(下列函数集合按照函数的加法及数乘运算是否构成线性空间,()上所有次数的多项式全体,a,b()上所有次数的多项式全体,a,b()上满足的函数全体a,bx(a),()上连续且周期为,的函数全体R()上一切单调函数全体。Rn(设是维实线性空间证明与同构。RnXX赋范线性空间在前几节中我们在集合上引进了度量的概念并且在度量的意义下研究了点列的收敛及其映射的性质。在泛函分析中特别重要并非常有用的一类度量空间实赋范线性空间。在赋范线性空间中的元素可以相加或数乘(即进行线性运算)元素之间不仅有距离而且每个元素有类似于普通向量长度的叫做范数的量。赋范线性空间的定义及例子【定义】设是线性空间若对于中每个元素按照一定法则xXXx对应一个实数满足:x,x,,x,,()且xy,xy(x,y,X)(),x,,x(,,F,x,X)()。x,x则称为的范数称为以为范数的赋范线性空间。X对于赋范线性空间我们可以用公式,(x,y),x,y,(x,y)x定义元素与之间的距离容易证明满足距离的三个条件因而X是一y个度量空间。从而在赋范线性空间中邻域、开集、收敛性、完备性、可分性、列应用泛函分析(第二版)紧性等概念都有确切的定义。称中的点列依范数收敛于是指x,X{x}Xn,(x,x),x,x,(n,,)limx,x记为或简记为。x,x(n,,)nnnn,,n完备的赋范线性空间称为空间。Banachnpp例欧氏空间连续函数空间,空间,空RCa,bL(p,)l(p,)间在下列范数下均是赋范线性空间而且是空间即Banachnnx,(x),x,(x,x,?,x),R,in,ix,maxx(t),x,Ca,ba,t,bpbppx,(x(t)dt),x,La,b,a,p,,ppx,x,x,(x,x,?,x,?),l,,,nn,n,,Banach这些范数导出的距离与前几节讨论的度量空间一致因而是空间。n注:对于同一线性空间可以用不同的方式引进范数例如在中也可以用Rnx,maxx,x,(x,x,?,x),Rin,,inBanach来定义范数这时它仍是空间。S例仅有有限项非零的所有实数列组成的集合它是的子空间,也是线性空间在中定义范数为,,,,,supa,,,a,,iii,N(,,,)Banach则是赋范线性空间但不是空间。证明:是赋范线性空间易证仅需证在范数导出的度量意义下不完备,,取,,(n),,,,?,,,?,,,n,,n,m由于当使有(n)(m),(,,,),,(m,,)m(n)Cauchy,,,所以是中的列但它不收敛于中的点。若不然存在使,,,,,第二章度量空间与赋范线性空间,,(n)于是求得数列为这个数列的每一,,,,(m,,),,,,?,,?,,n,,项均非零因此矛盾。,,,按范数Ca,bbpp,,x,x(t)dt,x,Ca,b,a也是一个不完备的赋范线性空间。注:在线性空间中引入距离使之成为距离空间称为线性距离空间若能x,,(x,,)导入范数使之成为赋范线性空间且由范数导入的距离和原距离一致时称之为可赋范的若线性距离空间满足(X,,)(),(x,y),,(x,y,,)(,x,y,X),,(x,,),,,(x,,)(,,,F,,x,X)()则是可赋范的(证明留作习题)(X,,)Sx,S不可赋范的距离空间是存在的例如数列空间(节例)对x,,(x,,),x,,x如令则条件不能满足。事实上如果x,(,,?)则而。x,x,赋范线性空间的性质,,x,X,x,Xx性质x,x(n,,)设是赋范线性空间若则Xnn是有界数列。x,x,(n,,),,Nn,N证明:因所以对存在自然数当时nx,x,于是nx,xx,x,xn,,,,M,maxx,x,?,x,xx,Mxn令则对一切有即有界。Nn,,,,x,y,,,性质设X中点列及数域F中数列满足nnn应用泛函分析(第二版)x,x,y,y,,,,(n,,),(x,y,X,,,F)nnn则:()加法连续xy,xy(n,,)nn()数乘连续。,x,,x(n,,)nnxy,(xy),x,xy,y证明:()由得nnnnxy,xy(n,,)nnx,M()因所以有界M,使于是x,x(n,,),,xnnn,x,,x,,x,,x,x,,xnnxnnn,,x,,x,x,,xnnnn,,,,x,x,xnnn,M,,,,x,x,(n,,)nn所以,x,,x(n,,)nnx性质范数是的连续函数。xx,y,,,,,,,,证明:由对取则当时有x,y,x,yxx,y,x,y,,,,所以是的连续函数。x,,【定义】设是一线性空间与是上的两个范数如果XX,,,,(n,,),,则称强于如果,,,x,(n,,),,称与等价。n,,x,,x(x,X),,性质强于存在常数使。,,证明:若上述不等式成立显然比强充分性得证。n下面证明必要性用反证法。若不等式不成立则对任何自然数存在xxnnx,nxx,Xy,,,(n,,)使令于是但y,nnnnxnxn第二章度量空间与赋范线性空间y,(n,,),,不成立这与比强矛盾。证毕。n,,由性质可知两个范数与等价当且仅当存在常数使下,,,,面不等式成立,x,x,,x例在连续函数空间中定义两种范数为Ca,bbx,maxx(t),x,x(t)dt,a,,atb,,则比强但两个范数不等价。x,(n,,)证明:若则函数列在上一致收敛于由一致a,b,,x(t)n收敛函数性质有bblimx(t)dt,limx(t)dt,,,aan,,n,,即x,(n,,)n反之取函数列即,,x(t),Ca,b,,t,a,nx(t),(n,,,?),n,,n(t,a),t,a,an,b则x,x(t)dt,,(n,,)nn,anx,,(n,,),,但故与不等价。,n有限维赋范线性空间当线性空间为有限维时这类赋范线性空间具有许多良好性质。,,e,e,?,e设是数域上的维实线性空间是的一组基则中每个XFXXn,,e,e,?,ex元素可惟一表示成基的线性组合即nx,,e,e?,e(,,F,i,,,?,n)nni,,,,,,?,,e,e,?,eix,x式中数称为关于基的坐标称为的第个坐标。nni应用泛函分析(第二版)如果把中的元素关于基的坐标记为它是上的,,,,e,e,?,e,,,,?,,xFXnnnnn线性空间中的元素令显然是到上RR,:X,R,,(x),(,,,,?,,),Xnn的同构映射因此与同构。由此可知任意两个维线性空间都是同构的。RnXn不仅如此与还有更进一步关系。RX【引理】设是一个维实赋范线性空间是的一个,,e,e,?,enXXnn基则存在正数使得对一切下列不等式成立x,,e,XM,M,M,M,kk,knMx,(),Mx,,k,k(),x,X证明:对有nnnnx,,e,e,,(e)(,),,,,kkkkkk,,,,kkkknn,m(,),(m,(e)),,kk,,kkn再任取由不等式()有y,,e,X,kk,knx,y,m(,,,),kk,k于是便有nx,y,x,y,m(,,,),kk,k()n,,,,R,,,,?,,,,,,,,,,,?,,将看成的中点令nnnf(,),x,(x,,e),kk,k由式()知第二章度量空间与赋范线性空间f(,),f(,),m,,,nn所以是到上的连续函数取单位球面fRRRn,,,,,S,,(,,,?,,)(,),,,nk,k,,n则是中的有界闭集且不含零元素故在中任一点处不为零且上、下SSRf(,)f(,),mx,mm,确界可达从而存在下确界使或。nn,,x,,任取且则。,,xe,,,,,,kkk,,k,k,,,令n,e,kkxk,,x,,nn,,,,,,,,kk,,,,kk,,,,,,,,,,,,记故,,,,,,,Sxfm且,,,n,,,,k,,,k,,nn,,,,,,„„„„„„„()xxm,,,,,,kk,,,,,,,,,,kk,在式()中令在式()中令则不等式得证。M,,M,,,mm,,定理设是m维实线性空间与是上定义的两个范数则XX,,与等价。,,MM,,MM,,证明:由引理存在常数及满足nn,,,,,MxM,,,,,,kk,,,,,,,,,,kknn,,,,,MxM,,,,,,kk,,,,,,,,,,kkn这里xe,,。组合以上两个不等式有,kkk,应用泛函分析(第二版),MMxxx,,,MMn定理任意维实赋范线性空间必与同构且同胚。RnXneee,,,,?,,,,,,,,?证明:任取中一个基设将看xeX,,,,X,,,,nn,kk,k,n成到上的同构映射则由引理不等式可知是连续的且TRTx:,,,XTn也是连续的故与同胚。RX推论任意一个维实赋范线性空间必是Banach空间。nX因此任意赋范线性空间的有限维子空间一定是闭子空间。n由定理我们可知任意一个维实赋范线性空间与空间的代数结构Rn和分析性质一致。因此在只讨论有限维实赋范线性空间的代数性质与分析性质n时只需研究空间代数和分析性质即可。R下面将给出一个判断有限维实赋范线性空间的充要条件首先引入Riesz引理它是泛函分析中的一条重要定理它在有限维与无限维线性空间特征区别中起着关键作用。引理(Riesz)设是赋范线性空间的真闭子空间则对YX,,,,,,,,x,必存在中元且使得xX,,xYyxyY,inf:,,,,,,xXY,,dxx,,inf证明:由是的真子集任取令因是的YXYXxY,dd,,d,xY,闭子空间故而由确界性质知必有使作,,,dxx,,,xx,,,x,x,xxxxY,,xY,那么。任取因则有,xx,,,xxxxxd,,,因此,xx,,,xxxxxxxx,,,,,,,,xxxx,,d,,,,xx,证毕。第二章度量空间与赋范线性空间定理实赋范线性空间是有限维的充要条件是它的任意一个有界子X集是列紧集。证明:必要性。设是有限维实赋范线性空间并设维数为由定理nXnn知与同构且同胚。因中任意有界集是列紧集故中任意一个有界集RRXX也是列紧的。充分性(反证法)。若是无限维的令是的单位球面SXX则是中的有界集是列紧的。任取记为SSSxxxX,,,:,xS,XX,,张成的子空间则是的一维真子空间故由定理推知XX,xXXX是闭的由Riesz引理存在使再令是张成的子空间xS,,Xxx,xx,,,则也是的有限维真子空间由Riesz引理又存在使XXX,xS,,X对一切成立故便有依次类推可以做出xX,xxk,,,xx,,,,kkk,,S中一列元素对任何成立不等式xxx,,,,,??kxS。显然中不存在收敛子列因此与是列紧集xxlkkl,,,,?,,,,,,kkl矛盾这个矛盾说明是有限维的。X从定理证明可以看出只需中的单位球是列紧的就能保证是有限维XX的。当是有限维实赋范线性空间时中有界集是列紧的有界闭集是紧的XX这个性质在任何无限维赋范线性空间中均不成立。nCzzzzzCin,,,,,,,:,,,,??注:记那么完全与上述关于实赋,,ninnCC范线性空间的讨论相同我们可以得到任何维赋范线性空间同构中n赋予标准范数为n,,zz,,i,,,,,inC知是赋范线性空间。习题x,,,X,,线性距离空间成为赋范线性空间(指与满足,xx,,,,)的充要条件是,,,xyxyxyX,,,,,,,,()应用泛函分析(第二版)()。,,,,,,,xxFxX,,,,,,,,,,xx设是赋范线性空间是中Cauchy列证明是有界集。XX,,,,nn设是赋范线性空间证明:对任意有。xyX,,xyxy,,,XCab,在连续函数空间上定义两个范数:,,,,ffxdxffxxdx,,,,,,,,,,,证明:与等价。设赋范线性空间是的子空间证明:的闭包仍是子空间。YYYXXXxX,,证明:赋范线性空间是Banach空间的充要条件是对任意若X,,n,,收敛则在中收敛。xxX,,ii,,ii,xi,,,,设是赋范线性空间且在中收敛证明。xX,xXXi,ii,ieeeX,,,?,xX,设是赋范线性空间对任意证明必存在数组X,,n使下面等式成立即aaaF,,,?,nnn,,xaextetttFmin:,,,?,,,,,,,,iiiin,,ii,,设是无限维赋范线性空间是的有限维子空间证明:必存在XYXx,,xY,,xX,且使成立。BxxxX,,,,,设是任一无限维赋范线性空间证明:单位球X,,不是列紧集

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