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什么是空间拓扑结构

归档日期:07-15       文本归类:度量空间      文章编辑:爱尚语录

  庞加莱猜想——庞加莱在1904年的闪光已照明了廿世纪拓扑学主要部分。2006年,庞加莱猜想终获证明,Perelman被授予菲尔兹奖。

  困扰数学家百年之久的庞加莱猜想已经被证明,这一点似乎很少有人怀疑,然而令人大惑不解的是,在那个万众瞩目的英雄榜中到底该有谁的名字,却成了一个谜局——引起公众注意的正是这一谜局,反倒不是庞加莱猜想本身。

  庞加莱猜想的证明是过去30年几何分析学科的伟大成就,是俄国人还是中国人完成了“临门一脚”对学科本身并不重要。我们更应该关心的是学科的进展及其意义。

  不过,不是数学家也很难理解这种进展及其意义。令人惊奇的倒是,数学家研究的空间结构和我的切近的空间有何相干?我的切近的空间何以也要服从数学家才能理解的如此复杂的整体拓扑结构?——这次是“数学家们第一次能够理解复杂的偏微分方程组的奇点和演化。类似的方程组在自然现象中比比皆是。解决Hamilton方程的方法将给这些自然的方程,如Navier-Stokes方程和爱因斯坦方程的研究带来曙光。”我们知道,爱因斯坦方程描述的正是物理世界/空间的偏微分方程,确实是和我们切近的空间相干的。

  海德格尔从“存在世界中”来理解切近的空间,基于此,才可能有将整个现成事物作为专题的理论的视野,于是才有数学物理的世界/空间。这是两个不同的空间,尽管后者基于或渊源于前者才有可能。令人惊异的正是:尽管切近的空间在此在的在世中有其整体性和统一性,当其在专题化中转向理论的视野之时,各个不同的在世的此在何以都会到达同一个数学物理的空间?从切近的空间如何达到爱因斯坦空间的大尺度整体拓扑结构的拓扑不变性?这种拓扑不变性从其渊源之处如何可能?

  当一个空间被赋予一个拓扑时,那么这个空间就被称之为拓扑空间.对于拓扑空间,我们主要是研究空间的拓扑性质.

  拓扑性质是拓扑空间在同胚映射下的不变性质,比如连通性,紧致性,可分性,可数性...这些都是拓扑性质.比如一个橡皮球,我们把它压缩,扩张,但不撕裂.可能它的外形变了,但是它的某些性质并未改变,比如它没有变成两个球,也就是说它依然是连通的.而连通性正是拓扑性质.

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