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范数可以诱导出度量:d(xy)=║x-y║进而诱导出拓扑因此赋范线性

归档日期:07-08       文本归类:度量空间      文章编辑:爱尚语录

  目前我想确实可以先不管拓扑。一般说,如果知道一个空间里什么是开集,那么就等于知道了这个空间的拓扑。如果有个范数,那么就可以定义内点、开集之类的(就像欧氏空间一样),那么就有了拓扑。只要有拓扑(就是知道了什么是开集),就可以规定连续映射、紧致集合、收敛等等这些概念,当然如果有范数的话就可以不用管拓扑这回事,直接规定这些了。

  但是,不同的范数时常会定义出相同的拓扑,比如,你看一个有限维的欧氏空间,随便给两个范数,他们规定出的拓扑是一样的,也就是说,用其中一个范数规定出来的开集,和用另一个范数规定出来的完全相同(这里,有限维空间的任何两个范数是等价的,所以他们规定的拓扑相同;一般地,完全有可能有不等价的范数,规定的拓扑也相同)。所以有时候大家觉得,如果要规定诸如连续、紧致一类的概念,用范数的话会包含一些冗余的信息(两个范数不同,但规定的拓扑却可以相同,那么我们如果只关注拓扑概念,诸如连续、连通、紧致一类的,就没有必要关注这两个范数如何不同了),所以才会关注拓扑。

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