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《泛函分析》里面度量空间赋内积之间的关系

归档日期:06-20       文本归类:度量空间      文章编辑:爱尚语录

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  展开全部(1)赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里德空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是:

  一个向量 v 乘以一个标量 a 时,长度应变为原向量 v 的 a( a 的绝对值)倍。

  三角不等式成立。也就是说,对于两个向量 v 和 u ,它们的长度和(“三角形”的两边)大于 v+u (第三边)的长度。

  一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质,就叫做一个半范数;如果只有零向量的函数值是零,那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间

  (2)Banach空间是完备的线)在数学中,度量空间是一个集合,在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离(叫做度量)的概念

  (4)内积空间的定义:设V是数域P上的线性空间,V到P的一个代数运算(V×V-P),记为 (ɑ,) 。如果(ɑ,)满足下列条件:

  其中k是数域P中的任意数,ɑ、、γ是V中的任意元素,则称(ɑ,)为ɑ与的内积,定义了内积的线性空间V称为内积空间。特别地,称实数域R上的内积空间V为Euclid空间(欧式空间);称复数域C上的内积空间V为酉空间。

  (5)希尔伯特空间:在一个复向量空间H上的给定的内积并导出一种范数,如果其对于这个范数来说是完备的,那么它就是希尔伯特空间。这里的完备性是指,任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素,即它们与某个元素的范数差的极限为0。希尔伯特空间也是一个内积空间,其上有距离和角的概念(及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念),希尔伯特空间还是一个完备的空间。

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