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如何证明紧致的度量空间一定可分

归档日期:06-11       文本归类:度量空间      文章编辑:爱尚语录

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  space的时候,会首先联想到它是一个完备的内积空间,“完备表示我们用“内积”定义的度量来定义收敛时,不用担心“跑出去”的问题,例如n维欧氏空间就是完备的内积空间。但在机器学习中,我们更关心无穷维完备内积空间,换言之,函数构成的空间,如所谓square-integrablefunctionspaceL2,这个空间中每个元素都由平方之后可积的函数,可以在这个空间中定义代数运算,使之成为一个内积空间,并且可以证明,在适当的条件下,这样的空间是完备的。在这样的Hilbert从字面上想像,一个空间可分,由于空间就是集合,因此大致是说这个集合可分成多个子集的并,其实完全不是这样trival.数学中的定义,有时候很奇怪,实际上,空间可分与否,和是否compact一样,不是在说划分,而是在说它的“大小”!--如果度量空间X和一个可数集合差不多大,则它是一个可分空间。解释,1)可数集(countableset),是包含无穷多个元素的那类集合中最小的一种,比如自然数集,有理数集,整数集等,它们的大小是一样的,通常我们只会用到这类集合。既然一个可分空间和一个可数集差不多大,那么这个空间也就大不到哪里去。2)“差不多”是差多少?精确的说,只差一个“boundary”,注意,如果你往一杯水中撒一把沙子,则沙子集合与水集合的boundary是“无处不在”的。更精确的说,这个可数集是这个可分空间的稠密子集(denseset)。稠密的意思是说,水与沙子就只差边界那么多,如果把边界填满,二者就一样,如同你把有理集之间的空隙用无理数填满,你得到实数集一样。正式的说法是,如果一个子集F的closure等于母集合A,那么F就在A中稠密,换言之,A应当是包含F的最小闭集。直观上说,A是和F大小最接近,最“差不多”大小的集合。例子,Weierstrassapproximation定理说,在compactdomain上,所有多项式函数构成的“子空间”在所有连续函数构成的“母空间”中是稠密的,这样我们知道,大致上任何一个连续函数都可由某个多项式函数来近似。这就是我们在做回归时经常假定多项式函数的原因。

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